Benjamin Cantabile

ここではいわゆるシグマモデルを扱う。このモデルのラグランジアン密度は連続対称性として、もしくは対称性を持っている。まずラグランジアン密度は このラグランジアン密度は次のような変換に対して不変である。 これの対称性を明確にみるには、次のような新たな変数を考える。 とすると、ラグランジアン密度は のようにかける。これは複素スカラー場の理論そのものである。この場合、ラグランジアン密度は次のような変換に対して不変である。 これで対称性が示せた。古典ポテンシャルとして、はの時、 で最小値を持つ。これは平面にとっては半径の円 をなす。この円上のそれぞれの点は、対称性もしくは対称性による真空の無限個の縮退を表していて、実世界を議論するためにこの中の本当の真空としてどちらか1つを選ばなければいけない。例えば のような点が選べる。選んだ時点で真空のもしくは対称性は(自発的に)破れる。 摂動論においての粒子スペクトルを見るために、上で定まった本当の最小値の回りでの微小揺らぎを考える。そのために、 のようにシフトした場を定義する。これを用いて等式変形をしてみると、の中にはの2次項が存在しなく、の2次項は存在している。これよりは無質量な南部ゴールドストンボソンであり、の質量がであることを示している。実は先ほどの平面上の半径の円をを極座標的に考えてみよう。動径方向では多少の傾きがあるが、極角度方向ではただの平面があるだけである。つまり動径方向に動かすにはポテンシャルの抵抗が存在するが、極角度方向はスムースである。真空を(5.144)のように選んだ場合、極角度方向の揺らぎは方向となる。これからもまた、が南部ゴールドストンボソンなのがわかる。 さて、ゴールドストンの定理をこの場合に適用してみよう。まず対称性においてのネーターカレントを求めよう。対称性の微小変換は なので、 なのがわかる。これよりネーターカレントは、 であり、チャージは、 となる。ここで同時間正準交換関係 を用いると、チャージと場の交換関係を計算することができる。 (5.144)の真空の選び方によると、 である。それゆえゴールドすトンの定理を見るには、だけを考えれば良い。 色んなの中で、右辺のをなすために寄与するのは無質量の状態のみである。の持ち得るすべての運動量モードに対して(ローレンツ不変な形で)和を取ると(つまりフーリエ変換的な形式で)、 である。ここで、規格化条件として が取られたとして の時、(5.153)の等式が成り立つ。また、ローレンツ共変性より も分かる。それゆえ、ネーターカレントのダイバージェンスの行列エレメントは である。ここでカレント保存則によると であるか、 でなければいけない。の真空期待値をnonzeroに取っているので、が自然であり、これはがこのモデルの南部・ゴールドストンボソンであることを示唆している。のnonzeroな真空期待値は、実は中間子の崩壊定数のようなものである。 Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 :: Abelian symmetry case

これは明らかに連続対称性ではないので、無質量ボソン、つまり南部・ゴールドストンボソンは特に現れない。ただ、(5.123)のという対称性が自発的に破れる条件があり得る環境がどういうものか、そのイメージを学習するのが主目的である。 ここで使うラグランジアン密度は次のようである。 ここには離散対称性の対称性 がある。では$Z_2$対称であるが、ではその対称性が破れることになる。どういうことか説明しよう。このラグランジアン密度に対応するハミルとにアン密度で、特に古典ポテンシャルに当たる部分を考えよう。の空間微分のところが非負なことから、古典ポテンシャルの最小値は、の時はで形成され、基底状態の場がゼロであるが、の時はポテンシャルがメキシコ帽子みたいになって、ゼロでない2ヶ所 で形成されることになる。これを場の量子論の言葉で言うと、においての場の演算子の真空期待値は当たり前みたいにゼロであるが、の時の場の演算子の真空期待値は の2つとなる。つまりあり得る基底状態もしくは真空が2つになってしまうのである。この2つの中でどっちか一つに決まらなければいけなく、それからどっちか一つに決まってしまえばその時点で離散対称性は(自発的に)破れてしまう。これこそが(5.123)のなのである。 先ほど述べたように、は連続対称性でないので、南部・ゴールドストンボソンは現れない。これを確かめるには、真空まわりでの揺らぎを見る必要がある、なので真空期待値がゼロと見えるように場の演算子を のようにシフトしよう。そうして簡単な等式変形を行うと、 となり、が質量を持つだけで、他の無質量ボソンは現れていないのがわかる。 Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 :: Discrete symmetry case

連続対称性の自発的破れは、無質量でスピンゼロのボソンの存在を意味する。それを南部・ゴールドストンボソンという。そのフォーマルな証明は1968年にGuralnikたちによって行われた(Broken symmetries and the Goldstone theorem)。ここではその証明を説明する。 連続対称性のあるところにネーターカレントがあり、またそのチャージもあるのだが、対称性が自発的に破れたせいでその収束性が悪くなるため、チャージがwell-definedでなくなる。しかしここでは、チャージがwell-definedでなくても、チャージの交換関係さえ定義できれば良いというところに着目している。 あるジェネリックな場の演算子の変換は と書ける。ここでBaker-Campbell-Hausdorfの公式を使っている。さっき言ったように、交換子さえ存在していれば的な話を進める。 ここで、表面が十分広く、十分大きくspacelikeに離れていると仮定し、表面項を落とす。結局、 この交換子は何らかの場のコンビネーションでなっていて、 なら、対称性が破れていると言える。 まず、デルタ関数からとなってしまうので、でないといけないのがわかる。とすると、より、 と書けるのがわかる。は有限のnonzeroな量なので、デルタ関数の発散を抑えるためには正の周波数項と負の周波数の項が互いに打ち消す必要があって、それができるためにはとなるしかない。つまり、有限でnonzeroなを与えるモードは無質量粒子しかなく、これこそが南部・ゴールドストンボソンの存在を示すのである。 この粒子はまた次のような性質を持つ。 この定理は使っている摂動論などによらない。 Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 :: The Goldstone theorem

対称性の自発的破れによる粒子スペクトルの縮退の無さはそんなに驚くべきことでもない。 例えばあたりでの強磁性あたりでも議論できる。 では常磁性があって、この時のすべての二重極たちは等方対称性を持つ。では強磁性があって、等方対称性はなくなり、二重極はどちらか一つの方向に一斉に揃う。これを自発的磁化という。この現象を扱っているのが1950年のギンズバーグランダウ理論(On the theory of superconductivity)である。これはあたりの、磁化がの領域でのモデルである。その自由エネルギー密度を巾展開し、高次項を無視できる。 その自由エネルギーを書くと ここでエネルギー密度とは回転変換に対してスカラーである。またここで、場が十分ゆっくりと変わっていくという仮定が入っている。なので1次微分まであるとする。またこのモデルでは、 はではなので、2次項のみならぬの4次項も入れておく必要がある。 は非負なので、の基底状態の磁化はの最小値にて起こる。 ではなので、つまりに自由エネルギー密度の最小値がある。つまり、磁化は起こっていない。しかしではなので、という局所的最小値の他、 という最小値も持ち得る。ここのはオーダーパラメータつまり秩序変数。方向はどこになるのかはわからないが、とりあえずどっちか一つの方向に一斉に揃う。どこかに向いてしまう寸前までは無限個の方向縮退性があったわけだが、一度決まってしまったらそこで等方対称性は終了のお知らせである。 つまり、対称性が自発的に破れるための条件とは または である。つまり、対称変換による真空(基底状態)の非不変性、真空の縮退性の消滅を意味する。 連続対称性が自発的に破れていない場合、ある場の演算子の真空期待値は、 である。しかし対称性が自発的に破られている場合は、 である。つまり、対称性が自発的に破れている相では、真空が対称演算子に対して縮退していないので、場の演算子の真空期待値がゼロでないと解釈するしかないことを意味する。 (5.124)のお話を後で。 それでも時空対称性は真空にある。 Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 :: Ferromagnetism as an example of spontaneous symmetry breakdown

4週間基礎軍事訓練が迫ってきて いきなりやる気発動。w は対称群の元 これはまた、群の既約表現、つまり基底を張る状態ベクトルともこんな関係を持つ。 ならば、 つまり、エネルギー固有値が対称群に対して縮退している。 これは基底状態(真空)の不変性、つまり縮退をも意味している。ある生成演算子、があって、 だとしよう。ここから、が群の元なのがわかり、 であるべき。しかしこれは でないと成り立たない。ここから真空(基底状態)の不変性が証明された。 もしなら、それこそが対称性の自発的破れを意味する。ただし注意すべきなのは、やではまだ対称的だということである。対称性の破れが見えるのは真空でのみ。 Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 :: Non-invariance of the ground state as a symmetry-breaking condition

強い相互作用をするハミルト二アンは のように書ける。はに対称で、はそうでない部分。それからはかなり小さいとされる。 やに対称性があるから、普通に考えて擬スカラー中間子オクテットとともにスカラー中間子オクテットがあったり、のバリオン八重項とともにのバリオン八重項があったりするだろうが、この世にはどうやらそんなデカい多重項の構造は見つかっていない。 ここら辺で、Weonjong Lee先生のツッコミ。今のこの文章を群論の言葉で、数式で示せるか。 pseudoscalar mesonって、である。はスピン、はパリティ、はチャージのこと。またその演算子はだろう。ここでは、例えばフレーバーとして、との二重項とする。はフレーバーの群の生成子の表現(行列)。また、scalar mesonはとか。 まずは両方の質量を求める。その方法としては、という相関関数と、という相関関数の間に、sym. transformation mixingがあるのを示して、よって両方が同じ質量を持ってるのを示せば良い。 話を戻そう。とりあえずそんなら、対称が自発的に破れているとしか考えられないだろう。言い換えると、対称性は実世界の粒子スペクトルとしては現れないということである。 Related articles Homeworks of Physics at LHC (A Lecture of Kaoru Hagiwara) Q5 (saintbenjamin.wordpress.com) Continue reading Cheng&Li Sec. 5.3 Spontaneous breaking of global symmetry, the Goldstone boson