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Generator of Lorentz Group :: Spinor Rep.

Gamma matricesを用いて、Lorentz groupをいわゆるSpinor representationで表せる。

Peskinを読んでも、九後さんをわ読んでもわかるが、そのgeneratorはブロック対角化されている。これは、この表現がreducibleであることを意味する。対角成分は2個であって、それぞれは2次元でパウリ行列なので、それならirreducible。

だからDirac spinor fieldも4つの成分を持っているが、その上の2成分と下の2成分がその2つのブロックたちと独立的に作用するということがわかる。その上2成分をleft-handed spinor、下2成分をright-handed spinorという。

Peskinがちょっとうざいのはこういうとこ。Primed & Unprimed Spinorを明記してくれなかった。備忘録の形式で片づけてみよう。Peskinでいう43ページと44ページのことである。

備忘録

Lorentz群のspinor表現のgerenratorを、spinorの足まで全部書いて表せば次のようである。

S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}\left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]

=\frac{i}{4}\left\{ \left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{\alpha\dot{\gamma}}^{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu\dot{\alpha}\gamma} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{\gamma\dot{\beta}}^{\nu}\\ \bar{\sigma}^{\nu\dot{\gamma}\beta} & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{\alpha\dot{\gamma}}^{\nu}\\ \bar{\sigma}^{\nu\dot{\alpha}\gamma} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{\gamma\dot{\beta}}^{\mu}\\ \bar{\sigma}^{\mu\dot{\gamma}\beta} & 0 \end{array}\right)\right\}

S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}\left(\begin{array}{cc} {\left(\sigma^{\mu}\bar{\sigma}^{\nu}-\sigma^{\nu}\bar{\sigma}^{\mu}\right)_{\alpha}}^{\beta} & 0\\ 0 & {\left(\bar{\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu}-\bar{\sigma}^{\nu}\sigma^{\mu}\right)^{\dot{\alpha}}}_{\dot{\beta}} \end{array}\right)

これをローレンツ変換行列に代入。

\Lambda_{\frac{1}{2}}=\exp\left[-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right]

=\exp\left[\frac{\omega_{\mu\nu}}{8}\left(\begin{array}{cc} {\left(\sigma^{\mu}\bar{\sigma}^{\nu}-\sigma^{\nu}\bar{\sigma}^{\mu}\right)_{\alpha}}^{\beta} & 0\\ 0 & {\left(\bar{\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu}-\bar{\sigma}^{\nu}\sigma^{\mu}\right)^{\dot{\alpha}}}_{\dot{\beta}} \end{array}\right)\right]

それから、次を参照し、

\left[\left(-\sigma_{\alpha\dot{\gamma}}^{i}\right),\sigma^{j\dot{\gamma}\beta}\right]=-2i\varepsilon^{ijk}{\sigma_{\alpha}^{k}}^{\beta},          \left[\sigma^{i\dot{\alpha}\gamma},\left(-\sigma_{\gamma\dot{\beta}}^{j}\right)\right]=-2i\varepsilon^{ijk}{\sigma^{k\dot{\alpha}}}_{\dot{\beta}}

次を代入すると、

\theta_{k}\equiv\frac{1}{2}\omega_{ij}\varepsilon_{ijk}\ ,          \beta_{k}\equiv\frac{1}{2}\omega_{0k}

Lorentz変換行列は次のように、もうちょっとわかりやすい形になる。

\Lambda_{\frac{1}{2}}=\left(\begin{array}{cc} {\exp\left[-\frac{i}{2}\left(\theta_{k}-i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]_{\alpha}}^{\beta} & 0\\ 0 & {\exp\left[-\frac{i}{2}\left(\theta_{k}+i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]^{\dot{\gamma}}}_{\dot{\delta}} \end{array}\right)

ここで\thetaはrotationの角度を、\betaはboostのrapidityを表す。つまり、spatial rotationとLorentz boostの部分に分かれられているのである。

spinorのかかわったLorentz変換ではgamma matricesが大事になるが、Gamma matricesはvectoｒの足とspinorの足両方を持っていて、こいつに対するspinor足のLorentz変換と、vector足のLorentz変換は同時に行われる。2つが同時に行われたらgamma matricesは不変。一言でいうと次式のようである。

\Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^{\mu}\Lambda_{\frac{1}{2}}={\Lambda^{\mu}}_{\nu}\gamma^{\nu}

これをPauli matricesを用いて表すと、次のようである。

{\left(\exp\left[\frac{i}{2}\left(\theta_{k}-i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]\right)_{\alpha}}^{\gamma}\sigma_{\gamma\dot{\gamma}}^{\mu}{\left(\exp\left[-\frac{i}{2}\left(\theta_{k}+i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]\right)^{\dot{\gamma}}}_{\dot{\alpha}}={\Lambda^{\mu}}_{\nu}\sigma_{\alpha\dot{\alpha}}^{\nu}

{\left(\exp\left[\frac{i}{2}\left(\theta_{k}+i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]\right)^{\dot{\beta}}}_{\dot{\delta}}\bar{\sigma}^{\mu\dot{\delta}\delta}{\left(\exp\left[-\frac{i}{2}\left(\theta_{k}-i\beta_{k}\right)\sigma^{k}\right]\right)_{\delta}}^{\beta}={\Lambda^{\mu}}_{\nu}\bar{\sigma}^{\nu\dot{\beta}\beta}

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