Relation between rapidity and velocity

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}=\cosh\eta=\frac{e^{\eta}+e^{-\eta}}{2}$

$\beta\gamma =\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}=\sinh\eta=\frac{e^{\eta}-e^{-\eta}}{2}$

$e^{\eta} =\gamma+\beta\gamma=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$

$\eta =\frac{1}{2}\log\left(\frac{c+v}{c-v}\right)$

velocity-rapidity graph: $x$ 軸がvelocity。 $c=1$ としている。 $c=v$ に近づくほど、rapidityはさらに早いスピードで大きくなる。

$v =\frac{e^{2\eta}-1}{e^{2\eta}+1}c$

rapidity-velocity graph: x軸がrapidity。rapidityが増加すればするほど、光速に到達するスピードは遅くなる。